Сергей Бабичев,
системный аналитик
ЗАО «Топ Системы», менеджер по продукту T-FLEX Раскрой

Оптимальный раскрой заготовок является довольно сложной производственной задачей. Здесь на помощь приходят специализированные программные решения. В комплексе T­FLEX PLM эту задачу решает программа T­FLEX Раскрой, позволяющая на основе конструкторских данных получать схемы раскроя деталей на заготовках. Как и многие компоненты комплекса, Т­FLEX Раскрой ориентирован на решение узкоспециализированной задачи, а именно: оптимизации раскроя (рис. 1). Другие сопутствующие задачи - подготовка геометрии деталей и заготовок, оформление документации на основе схем раскроя, подготовка управляющих программ (УП) для станков с ЧПУ - решаются в соответствующих программах комплекса T­FLEX PLM.

Применение специализированных программных продуктов, интегрированных между собой, выгодно для клиентов и партнеров компании «Топ Системы» , поскольку позволяет им на определенном этапе развития бизнеса использовать именно те инструменты T­FLEX, которые подходят для этого наилучшим образом. В то же время при масштабировании бизнеса или переходе на следующие этапы автоматизации это дает возможность «безболезненно» включать в имеющуюся инфраструктуру новые компоненты T­FLEX PLM без приостановки работ и дополнительных затрат на интеграцию программ. Именно поэтому T­FLEX Раскрой развивается как простое эффективное решение без дублирующей функциональности других компонентов T­FLEX PLM.

Принципы использования программы для раскроя

T­FLEX Раскрой тесно связан со средой проектирования T­FLEX CAD, которая берет на себя все непрофильные для программы раскроя функции: построение геометрии и оформление документации, взаимодействие с внешними CAD­системами и другими компонентами комплекса T­FLEX PLM (рис. 2).

В общем случае взаимодействие двух программ выглядит следующим образом:

T­FLEX CAD:

1. Сложная геометрия контуров деталей и заготовок создается или импортируется из других программ при помощи T­FLEX CAD (прямоугольные детали и заготовки можно задать непосредственно в T­FLEX Раскрое).
2. Из T­FLEX CAD запускается программа для раскроя.
   T­FLEX Раскрой:
3. Создается проект одного из следующих типов: фигурный (для деталей и заготовок произвольной формы), гильотинный (для раскроя заготовок прямоугольной формы сквозными резами), линейный (для заготовок в хлыстах).
4. Задаются параметры проекта раскроя и добавляется недостающая информация о деталях и заготовках: наименования, обозначения, количество, возможность поворота или переворота деталей и т.д.
5. Производится расчет и анализируются результаты. Создаются отчеты. Схема раскроя передается обратно в T­FLEX CAD.
   T­FLEX CAD:
6. Оформляется необходимая документация (карты раскроя, спецификации, экспликации).
7. Производится формирование УП в модуле T­FLEX ЧПУ (модуль также интегрирован в среду T­FLEX CAD).
8. При необходимости, результаты раскроя экспортируются во внешние программы.
9. Основные возможности программы T­FLEX Раскрой были рассмотрены в работе , поэтому далее более подробно остановимся на самых интересных возможностях программы и ее взаимодействии с другими продуктами линейки T­FLEX.

Формирование данных для проекта раскроя

Существует множество способов добавить данные в проект раскроя:

1. Ручное добавление деталей или заготовок непосредственно в интерфейсе T­FLEX Раскроя.
2. При помощи команд импорта деталей и заготовок (рис. 3).
   При этом возможны два варианта использования:
   • импортировать контуры из документа T­FLEX CAD. Это удобно, когда есть чертежи деталей и на их основе созданы штриховки (контуры для раскроя), помещенные на специальный слой. В проект раскроя попадают все штриховки, принадлежащие заданному слою;
   • импортировать детали из других проектов раскроя. Это удобно, когда есть возможность заимствовать полностью или частично имеющиеся данные.
3. Ручное добавление контуров деталей или заготовок из документа T­FLEX CAD (рис. 4).
4. Копирование через буфер обмена данных о деталях из внешних таблиц, например из документов Microsoft Excel.
5. Формирование данных для проекта раскроя на основе структуры изделия. Данный вариант применяется для автоматического формирования проекта раскроя для группы серийных изделий. Проиллюстрируем способ 5. Например, имеется параметрическая модель шкафа для трех типоразмеров (рис. 5).

Изделия серийные, поэтому регулярно появляются заказы на изготовление определенного количества изделий разных типоразмеров. И каждый раз стоит задача сформировать проект раскроя для конкретного заказа. В этом случае рекомендуется следующий подход. Для параметрической модели шкафа формируется специальная структура изделия, где указываются необходимые для раскроя данные: тип раскроя, наименования, обозначения, количество деталей в изделии и т.д. (рис. 6).

Структура изделия создается один раз для параметрической модели, а затем обновляется при пересчете для разных составов изделия. То есть структура изделия для своей модели всегда актуальна.

Чтобы сымитировать состав заказа (выбрать позиции и задать их количество), достаточно в T­FLEX CAD создать из прототипа новый документ и добавить в него модели изделий с нужными параметрами, задав через переменные количество экземпляров каждой позиции заказа. Автоматически сформируется структура для всего заказа. После этого в T­FLEX Раскрое достаточно создать проект на основе структуры изделия и запустить расчет (рис. 7).

Ассоциативность между исходной геометрией и контурами деталей в T­FLEX Раскрое

При добавлении контуров деталей из T­FLEX CAD в программу раскроя запоминается путь к исходному документу. Если в T­FLEX CAD контуры деталей изменились, то T­FLEX Раскрой отмечает записи с неактуальными контурами (рис. 8). Выделив нужное количество деталей, можно обновить их. Обновление контуров опциональное. Это дает возможность открыть старые («неактуальные») версии проектов раскроя и изготовить запчасти для устаревших изделий.

Также нередко бывает, что в T­FLEX CAD создается другая версия документа с контурами деталей и требуется переназначить путь к новому документу. В этом случае также выбираются все или несколько деталей и в параметрах изменяется путь.

Управление деловыми отходами

Деловые отходы (ДО) - это крупные остатки заготовок, которые впоследствии можно использовать для раскроя более мелких деталей. T­FLEX Раскрой позволяет установить для проекта приемлемый размер ДО, и на схеме раскроя будут отображаться (и учитываться в отчетах) остатки, размер которых превышает установленный предел. Такие остатки можно отобразить на схеме раскроя, а при необходимости нужным образом разделить отрезками на части, разрезая перемычки между деталями (рис. 9).

Для фигурного раскроя размеры ДО по площади могут быть большими, но совершенно не пригодными для последующего использования. В этом случае такие остатки можно удалить вручную (рис. 10).

Список деловых отходов формируется динамически, например, если пользователь изменил в параметрах проекта минимальный размер ДО или удалил остатки со схемы раскроя. Эта информация, наряду с другими результатами по деталям и заготовкам, отражается в отчетах (рис. 11). Отчеты можно выгружать во внешние файлы.

Формирование управляющих программ

Как было показано на рис. 1, схемы раскроя являются лишь промежуточным результатом. На основе схем раскроя создаются управляющие программы в модуле T­FLEX ЧПУ. Пример имитации обработки деталей на заготовке показан на рис. 12.

Использование T­FLEX Раскрой в едином информационном пространстве

Говоря о комплексном подходе к автоматизации КТПП, следует упомянуть, что T­FLEX Раскрой интегрирован с системой электронного документооборота T­FLEX DOCs, что позволяет наладить коллективную работу над проектами (рис. 13). Благодаря мощной платформе и гибкости инструментария построено решение, позволяющее из среды T­FLEX DOCs запускать T­FLEX Раскрой, производить расчет и регистрировать в системе результаты: файлы проектов раскроя, КИМ, схемы раскроя, деловые отходы. Полученные данные используются для реализации заказов.

В заключение отметим, что Т­FLEX Раскрой постоянно развивается: появляется новая функциональность и совершенствуется имеющаяся. Относительно молодая программа приобрела черты солидного взрослого решения, нацеленного на серьезные задачи.

Список литературы:

1. Мальчук А.В. Практический опыт использования продуктов T­FLEX PLM на предприятиях малого и среднего бизнеса // САПР и графика. 2017. № 8.
2. Бабичев С.В. T­FLEX Раскрой 15: новый продукт - большие перспективы // САПР и графика. 2016. № 6.

Источник: ПО МАТЕРИАЛАМ ООО "БАЗИС - ЦЕНТР"

Как следует из предыдущих разделов, понятие оптимальной карты раскроя является неоднозначным. Карта раскроя с высоким значением КИМ может быть абсолютно нетехнологична и наоборот. Однако всегда можно сформировать карты раскроя, удовлетворяющие максимальному количеству требований, актуальных для конкретного технологического процесса. Приведем ряд практических рекомендаций по методике выполнения раскроя.

При использовании плит определенного размера могут сформироваться карты раскроя, имеющие неудовлетворительное значение КИМ, или низкую технологичность. В том случае, если есть возможность закупать плиты других размеров, имеет смысл раскроить тот же список панелей, но при другом типоразмере плиты. Возможно, качество карт раскроя станет выше. Причем совсем необязательно, что на больших по площади плитах карты раскроя будут более качественными.

После выполнения раскроя обязательно надо проанализировать полученные карты. Во-первых, необходимо оценить размеры получившихся обрезков с точки зрения того, на какую величину размеры обрезков отличаются от ближайших по размеру панелей изделия. Может быть, есть возможность изменить размеры каких-нибудь деталей или всего изделия для получения более качественных карт раскроя.

Приведем простой пример. Пусть есть плита размером 2000х1000 мм. Ширина реза 0 мм. Необходимо раскроить 12 деталей размером 1001х501 мм. Очевидно, что на одну плиту помещается только одна панель, т.е для выполнения заказа необходимо 12 плит, а значение КИМ - около 25%. Но, если размеры панели уменьшить всего на 1 мм, то панелей с размерами 1000х500 мм на плите 2000х1000 мм разместится четыре штуки, а значение КИМ при этом будет равно 100%. При всей условности примера он наглядно иллюстрирует, как можно изменив размеры панелей на величину, которая, как правило, не критична для функциональности и эстетических показателей мебельных изделий, получить значительный выигрыш по всем основным показателям: стоимости, трудоемкости и времени изготовления изделия.

В том случае, когда размеры панелей изменить невозможно, можно попытаться варьировать толщиной облицовки. Рассмотрим пример. Панели в изделии облицованы материалом толщиной 0,5 мм со всех сторон, при этом облицовка нанесена с подрезанием контура панели. Это означает, что распиловочные размеры панелей уменьшаются на две толщины кромки по каждому измерению - длине и ширине, то есть на 1 мм. Формируем и анализируем карты раскроя. Допустим, они не устраивают по качеству. Возвращаемся к модели изделия в модулях БАЗИС-Мебельщик или БАЗИС-Шкаф и выполняем команду групповой замены облицовочного материала на новый толщиной 2,0 мм (или команду замену облицовочного материала на отдельных кромках панелей). В этом случае распиловочные размеры панели уменьшатся уже на 4 мм, но размеры готовой панели останутся прежними. Выполняем повторный раскрой и анализируем результаты. Вполне может оказаться, что значение КИМ возрастет очень резко, поскольку именно этих миллиметров и не хватало для получения качественного раскроя. Конечно, новый облицовочный материал стоит дороже, то есть при новом раскрое проигрываем в стоимости облицовочного материала, но экономим на стоимости ДСтП, что может «перекрыть» полученное удорожание. Получается парадоксальная ситуация: более дорогая мебель (за счет дорогой облицовки) оказывается в производстве более дешевой за счет экономии материала. Отметим, что все расчеты затрат на изделие выполняются автоматически и практически мгновенно в модуле БАЗИС-Смета.

Еще одно пояснение. В алгоритмах раскроя плитных материалов для мебельной промышленности заложена идеология раскроя гильотинными резами, то есть прямыми сквозными резами, разрезающими текущую полосу на две части. Одним из требований технологичности раскроя является точность размеров деталей с учетом допусков и посадок. Соответственно, алгоритмы формирования карт раскроя должны работать таким образом, чтобы получать панели с максимально точными размерами.

Рассмотрим фрагмент карты раскроя, приведенный на рис. 5.1.

Последнюю полосу, содержащую одиннадцать панелей с размерами 200х120 мм можно кроить разными способами. Допустим, что упоры устанавливаются с точностью ±0,5 мм, что является обычной точностью при распиловке панелей. Ширина реза - 5 мм. Выполняем раскрой. Вначале выполняем торцевание плиты, затем отрезаем полосу с этими панелями, то есть выполняем «горизонтальный» рез. После этого можно сделать рез на расстоянии 200*11+5*10 = 2250 мм для того, чтобы отпилить отход. Но этот размер может быть установлен на 0,5 мм меньше (точность установки упоров), то есть 2249,5 мм. Выполняем рез и устанавливаем размер по ширине на 120 мм, который реально из-за точности установки может оказаться равным 120-0,5=119,5 мм. Затем устанавливаем размер 200 мм, который реально может оказаться равным 200+0,5=200,5 мм. Отрезаем десять панелей, при этом размеры последней панели образуются автоматически. Измеряем ее длину и обнаруживаем, что она равна 194,5 мм, то есть на 5,5 мм меньше, чем нужно. Как это получилось, если все размеры были установлены с точностью 0,5 мм? Однако это легко доказать: 2249,5 - 200,5*10 - 5*10 = 194,5 мм. Реальный размер последней панели оказался равным 194,5х119,5 мм, а это уже неисправимый брак. Этот пример иллюстрирует, как влияет очередность раскроя на реальные размеры деталей.

Никогда не следует забывать о том, что технологический документ (в данном случае карта раскроя) - это инструкция для рабочего, заключающая в себе всю технологию изготовления и контрольные размеры, а не просто геометрический рисунок. На серьезном производстве рабочий не должен ничего складывать или прикидывать. Он должен точно следовать предписаниям в соответствии с документацией технологического процесса изготовления изделия.

Анализ оптимальности, технологичности и исполнимости карт раскроя

В данном разделе приведены примеры некоторых карт раскроя, полученных в различных программах, с анализом тех проблем и неудобств, которые могут возникнуть при их реализации на раскройном оборудовании. Это позволит читателю получить более полное представление о таких важных параметрах карт раскроя, как их технологичность и исполнимость. Ряд примеров карт раскроя и комментарии к ним с согласия автора взяты из статьи , часть - с профессионального мебельного форума htpp://mebelsoft.net.

Будем считать, что технологическая операция торцевания кромок плиты с двух сторон для обеспечения измерительной базы (кромки, от которой ведется отсчет) выполнена, поэтому она не рассматривается при описании последовательности действий по раскрою. Для упрощения анализа будем считать, что ширина реза равна нулю.

Проанализируем карту раскроя, показанную на рис. 5.2. С точки зрения КИМ данная карта вполне хорошая. Рассмотрим процесс ее исполнения на круглопильном станке: выполняем последовательно горизонтальный рез 1 и вертикальный рез 2.

Для раскроя оставшейся части листа единственными базами являются левая и верхняя кромки. Чтобы выполнить следующий рез, например, горизонтальный рез 3, необходимо сложить ширину полос (480+394+394 мм). Это означает, что на этом шаге ни один точный размер выставить невозможно - произошла потеря базы.

На первый взгляд кажется, что ничего страшного не произошло. Однако, где гарантия, что рабочий не ошибется и часть листа просто не уйдет в брак? Второй, более серьезный момент. Ни одна операция не может быть выполнена точно, поскольку в технике не существует размеров без допусков. Они обеспечиваются точностью станка, системой линеек и упоров, точностью измерительных приборов и т.д. На первом и втором шаге размер полосы выставлялся точно от базы, поэтому погрешность размеров минимальна. При отрезе полос на оставшейся части листа (горизонтальный рез 3) размер отрезаемой полосы будет выставлен с погрешностью 0,5 мм. Cоответственно, можно выставить размер 480+394+394=1268-0,5 мм=1267,5 мм.

Вертикальные резы 4, 5 и 6 выполняем с удовлетворительной точностью. Далее берем полосу 509х1267,5 мм и разрезаем ее горизонтальными резами. Для выполнения реза 7 при установке размера 480 мм с точностью 0,5 мм реально установили размер 480,5 мм, а при выполнении реза 8 при установке размера 394 мм с точностью 0,5 мм реально установили размер 394,5 мм.

Последняя деталь получилась с размером 392,5 мм, меньше номинала на 1,5 мм. Это для серьезного производства уже неисправимый брак, поскольку заданная точность исполнения 0,5 мм.

Для карты, показанной на рис. 5.3 даже для первого реза невозможно выставить точный размер. Первый рез (вертикальный рез 1) должен производиться на расстоянии 6*363 мм. Для дальнейшего раскроя установим размер 363 мм с точностью 0,5 мм, то есть первые пять полос будут отрезаться в размер 363,5 мм. Нетрудно подсчитать, что размер последней полосы будет равным 360 мм, а это уже неисправимый брак четырех деталей. Конечно, мы можем получить пять полос размером 362,5 мм, а последнюю полосу - размером 366 мм. Это уже исправимый брак, но для его исправления придется делать дополнительный рез.

Рассмотрим карту, приведенную на рис. 5.4. Как видно, укладка панелей на ней довольно плотная, но сама карта является неисполнимой, то есть выполнить раскрой в соответствии с ней просто невозможно. Рассмотрим возможную последовательность действий:

▼ выполнение вертикального реза 1 в размер 872 мм;
▼ выполнение горизонтального реза 2 в размер 868 мм;
▼ выполнение горизонтального реза 3 в размер 550+90 мм.

Дальше ни одного сквозного реза, например, горизонтальные резы 4, 6, или вертикальный рез 5, выполнить невозможно. Хорошо, если рабочий перед выполнением раскроя заметит это. В противном случае один или несколько листов материала уйдут в брак.

Карта, показанная на рис. 5.5, исполнима и имеет неплохое значение КИМ. Последовательность ее распила следующая: вертикальный рез 1, опиливание кромки, поворот, горизонтальный рез 2, опиливание кромки, поворот, вертикальный рез 3 и т.д. Другими словами, практически после каждого реза плиту придется поворачивать, а, значит, трудоемкость раскроя существенно возрастает.

Карту на рис. 5.6 на первый взгляд улучшить невозможно: и КИМ максимальный, и технологичность обеспечена. Рассмотрим последовательность распила. Вначале опиливаем правую сторону (вертикальный рез 1), а затем, развернув плиту на 90°, нарезаем полосы. Неудобство кроется в необходимости разворота практически целой плиты, поскольку, например, средний вес плиты ДСтП 2750х1830 мм толщиной 16 мм около 60 кг. Значительно легче было бы вначале нарезать полосы, а уж потом у каждой из них опилить кромку.

Рассмотрим последовательность распила карты, показанной на рис. 5.7. Выполняем вертикальный рез 1 в размер 2000 мм. Далее ее необходимо распилить на горизонтальные полосы, первая из которых имеет размер 1999х50 мм. Из-за наличия внутренних напряжений в плите, такую узкую и длинную полосу с большой вероятностью изогнет, и ее, возможно, придется списать в брак. Тоже самое может случиться и с крайней правой вертикальной полосой (вертикальный рез N) шириной 100 мм.

Карта раскроя, показанная на рис. 5.8, решает проблему возможного изгиба узкой полосы шириной 50 мм, расположив ее посередине листа. Такой эффект получен при помощи выбора метода сортировки, при котором узкие полосы располагаются внутри. Однако это существенно «ухудшило» технологичность остальных полос: попеременная установка упоров на уменьшение и увеличение размеров отрезаемых полос второго и выше уровней способствует понижению точности размеров. Это произошло в силу того, что выбранный метод сортировки действует на полосы всех уровней.

Решить эту проблему возможно включением опции Узкие полосы первого уровня располагаются внутри, который расположен на вкладке Критерии выбора в диалоге задания параметров раскроя. В этом случае, как видно из рис. 5.9, полоса шириной 50 мм по-прежнему располагается в середине плиты, но при этом в каждой получаемой полосе панели сортируются по установленному методу, например, от максимального размера к минимальному размеру.

Карту раскроя, показанную на рис. 5.10, вообще невозможно реализовать, поскольку в выделенном фрагменте отсутствуют прямые сквозные резы.

Таким образом, анализ карт раскроя, полученных автоматизированным способом в различных программах раскроя, показывает, что отсутствие учета технологических факторов оптимизации в лучшем случае приводит к получению трудоемких в реализации карт раскроя, а в худшем случае - к неисправимому браку. Традиционные алгоритмы оптимизации раскроя по максимальному значению КИМ по этим причинам далеко не всегда обеспечивают его.

Уменьшение трудоемкости раскроя

Задача уменьшения трудоемкости операции раскроя является актуальной для любого мебельного предприятия. Рассмотрим возможные варианты ее решения. Будем считать, что на предприятии используются пильные центры, на которых можно выполнять пакетный раскрой, и обычные круглопильные станки. Информацию для построения наименее трудоемкой стратегии раскроя будем получать из выдаваемой модулем БАЗИС-Раскрой статистической информации.

Допустим, выполнен раскрой некоторого задания, содержащего примерно пятьдесят типоразмеров панелей общим количеством не менее 150 штук, а количество панелей порядка 3000 штук. Вариант фрагмента статистических данных, формируемых модулем БАЗИС-Раскрой, приведен в табл. 5.1.

Качественные показатели выполненного раскроя достаточно хорошие. Поскольку используемое оборудование позволяет одновременно раскраивать до шести плит в пакете, в таблице приведены характеристики всех возможных вариантов пакетного раскроя. Рассмотрим их.

Общее количество используемых плит - 162 штуки. Если выполнять раскрой только на круглопильном станке по одной плите за цикл, то количество циклов будет равно количеству плит - 162 цикла.

При выполнении раскроя по две плиты в пакете количество циклов будет равно 84. При переходе к раскрою по три плиты, количество циклов уменьшается незначительно, до 83. Другие характеристики тоже улучшаются, но незначительно. Зато при переходе к раскрою по четыре плиты все значения резко улучшаются, почти в два раза. Например, количество циклов равно уже 45.

Дальнейшее увеличение количества плит в пакете совершенно не изменяет характеристики раскроя. На первый взгляд это не логично. Тем не менее, объяснение достаточно простое: в данном варианте набор панелей таков, что для его раскроя невозможно сформировать пакеты по пять плит. Оптимальным вариантом будет раскрой по четыре плиты в пакете.

Такое резкое улучшение характеристик пакетного раскроя происходит далеко не всегда. Рассмотрим еще один пример, информация по которому приведена в табл. 5.2. Резкое уменьшение количества циклов произошло только при переходе к пакетному раскрою, а в дальнейшем оно носит плавный характер.

Поясним, как рассчитывается количество циклов. Пусть надо раскроить по некоторой карте раскроя 12 плит. При четырех плитах в пакете необходимо три цикла (12:4=3), а при пяти плитах -два пакета по пять плит и один пакет из двух плит, то есть те же самые три цикла.

От количества циклов зависит общая длина резов, а от нее - износ пилы. Пиление тупым инструментом увеличивает потребление электроэнергии, ухудшает качества продукции и может служить причиной поломки пил. Вернемся к первому примеру. При раскрое по одной плите длина резов равна 4654,266 м, а при раскрое по четыре плиты она меньше - 1302,112 м. С другой стороны общая толщина «прорезаемой» плиты в первом случае меньше (одна плита), а во втором - больше (четыре плиты). Следовательно, износ пилы будет практически одинаковым.

Однако это не совсем так. Известно, что износ режущего инструмента зависит от множества факторов: скорости подачи, технического состояния станка и т.д., в том числе, от количества ударов зубьев о поверхность материала и количества распиленного материала. При прочих равных условиях на удар приходится примерно одна треть износа, а собственно на пиление - примерно две трети. Легко догадаться, что количество ударов при раскрое по одной плите будет значительно большим, что приведет к большему износу пилы. Вывод: раскрой предпочтительнее вести пакетами с максимально возможным количеством плит. Это не только экономит время и уменьшает трудоемкость, но и продлевает срок службы режущего инструмента.

Практика штабелирования панелей

Как отмечалось выше, решение задачи оптимального раскроя материалов имеет не только экономические и технологические, но и организационные аспекты, позволяющие повысить производительность работы, как самого раскройного участка, так и многих связанных с ним участков. Проанализируем карты раскроя некоторого заказа, показанные на рис. 5.11 и рис. 5.12.

Общая информация по раскрою (в модуле БАЗИС-Раскрой она выводится перед первой картой) приведена в табл. 5.3.

С точки зрения значения КИМ и технологичности их можно считать оптимальными. Рассмотрим последовательность выполнения раскроя. Карты условно будем нумеровать слева направо и сверху вниз вначале на рис. 5.11 с продолжением на рис. 5.12. Аналогичным образом нумеруем карты на рис. 5.13 с продолжением на рис. 5.14.

После распила первой карты на участке образуются штабели из 40 панелей 800х350 мм (позиция 3), 48 панелей размером 600х290 мм (позиция 1) и 192 панелей размером 500х146 мм (позиция 2). Последние панели можно отправлять на дальнейшую обработку, поскольку они выпилены в полном объеме. Остальные панели остаются на участке. После распила второй карты штабель панелей 800х350 мм (позиция 3) увеличивается еще на 30 панелей, но он попрежнему остается на участке. Только выполнив распил четвертой карты, можно передать панели 800х350 мм (позиция 3) на последующую обработку, но панели 600х290 мм (позиция 1) остаются на участке. Кроме того, появляется штабель панелей 480х352 мм (позиция 4) в количестве 20 штук. Только после распила третьей карты на участке остается единственный штабель панелей 480х352 мм (позиция 4). Таким образом, на раскройном участке во время выполнения заказа постоянно находится значительное количество штабелей панелей разных типоразмеров, которые ждут отправки на дальнейшую обработку. И это, как показывает практика, далеко не самый крупный заказ. Подобная ситуация чревата как минимум двумя отрицательными последствиями:

▼ при близких значениях размеров панелей в разных штабелях велика вероятность субъективной ошибки рабочего, который может просто перепутать панели и положить не в тот штабель;
▼ простой других участков предприятия (облицовочный, фрезерно-присадочный и т.д.) в ожидании панелей.

Выполним раскрой того же задания при неизменных настройках критериев и параметров, но с учетом технологии оптимального штабелирования. Для этого в диалоге настройки параметрах раскроя на вкладке Критерии выбора установим режим штабелирования по площади. Результат показан на рис. 5.13 и 5.14, а общая информация по результатам нового раскроя приведена в табл. 5.4.

Проанализируем результаты раскроя. Значение КИМ уменьшилось на 5,48%, но КИМ с учетом обрезков практически не изменился. Увеличились количество и площадь обрезков, а также количество карт раскроя - на две штуки. Для распила заказа потребовалась одна дополнительная плита материала. Количество и общая длина резов практически не изменились.

В качестве положительного момента отметим двукратное уменьшение количества установок размеров. Рассмотрим последовательность распила листов. После распила первой карты на участке формируется единственный штабель панелей 800х350 мм (позиция 3), который после распила четвертой карты может быть отправлен на следующие этапы обработки. Вместо него образуется штабель панелей 600х290 мм (позиция 1). Последовательно распиливаем шестую и вторую карты, после чего отправляем эти панели дальше. На участке по+прежнему один штабель панелей - теперь размером 480х352 мм (позиция 4). После распиливания седьмой карты они также отправляются на последующие этапы обработки. Последняя (третья) карта содержит только панели 500х146 мм (позиция 2). Таким образом, в любой момент времени на раскройном участке находится не более двух штабелей разных по размеру панелей, один из которых уже полностью подготовлен к передаче на другие участки.

Как видим, оба варианта раскроя имеют и свои достоинства, и свои недостатки. Выбор, как всегда, определяется конкретной производственной ситуацией. Главное в том, что технология оптимального штабелирования дает специалистам мебельного производства дополнительные возможности для организации равномерной загрузки оборудования всех технологических участков. Применять ее или нет - зависит от многих факторов, основной из которых - умение проанализировать и оценить все издержки, возникающие при реализации того или иного заказа.

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКИ РАЗЛИЧНЫХ РАЗМЕРОВ

Гиниатуллина Регина Айратовна

студент 1 курса магистратуры, кафедра прикладной математики и информатики КНИТУ им. А.Н. Туполева, РФ, г. Казань

E-mail: regina 1402@ yandex . ru

Галиев Шамиль Ибрагимович

научный руководитель, д-р техн. наук, профессорИТКиИ КНИТУ им. А.Н. Туполева, РФ, г. Казань

Гильотинный раскрой стальных и иных листов широко используется в машиностроении и других отраслях промышленности. Этот раскрой фактически является задачей упаковки квадратов различных размеров в заданный лист при использовании гильотинной процедуры. При этом важно уменьшить отходы листа. Интерес к задачам упаковки объясняется их большой практической значимостью. Как правило, такие задачи относятся к материалоемким производствам, где одним из основных факторов снижения себестоимости выпускаемой продукции является рациональное использование ресурсов. Данная задача имеет широкий спектр практических приложений в тех отраслях индустрии, где традиционно возникают задачи упаковки (раскроя) в машиностроении, деревообработке, лёгкой и строительной индустрии.

1. Обзор по задаче

В промышленности при изготовлении различных видов конечной продукций возникает задача оптимального раскроя листов заданных размеров на прямоугольные заготовки. Эта задача состоит в следующем: известны размеры квадратов, размер листа. Требуется разместить в лист заданные квадраты без перекрытия друг с другом так, чтобы можно было кроить лист гильотиной. Под гильотинным понимается раскрой, реализуемый последовательностью сквозных резов, параллельных кромкам материала. Кроме того, эти квадраты должны быть ортогонально упакованными без вращений, то есть у каждого выбранного элемента типа , сторона с высотой должна быть параллельна стороне листа с высотой H . Мы будем рассматривать проблему упаковки квадратов разного размера в прямоугольник. Решим эту проблему с помощью одного точного алгоритма. Он основан на итеративном выполнении рекурсивной процедурой алгоритма ветвей - и - границ (его мы так же рассмотрим) с различными входными параметрами, чтобы определить оптимальное значение решения.

2. Цель проекта

Цель данной работы состоит в исследовании и реализации алгоритма, способного находить решения упаковки квадратов в прямоугольник. Рассматриваемая задача имеет широкое применение в различных отраслях промышленности: машиностроении, деревообработке, лёгкой и строительной индустрии.

Необходимо осуществить возможность вывода на экран полученного результата в виде вписанных в прямоугольник квадратов различного размера и соответствующей дополнительной информации, необходимой пользователю. Например, такой как: времени работы алгоритма, различных сведений об ошибках и т. д.

3. Общие требования

1) Задание вручную размеров прямоугольника-листа (ширины и высоты), в который будут упаковываться квадраты;

2) Ручной ввод размеров квадратов (они могут быть как одинаковыми, так и различными);

3) Визуальный просмотр результатов выполнения алгоритма (с выводом соответствующей информации: время выполнения алгоритма, количества квадратов определенного размера вписавшихся в прямоугольник);

4) Сохранение в файл информацию об уже вписанных квадратах.

4. Актуальность проблемы

Основной целью проектируемой системы является соответствие основному алгоритму упаковки квадратов и удобство эксплуатации конечным пользователем, отказоустойчивость.

Задачи и функции проектируемой системы должны соответствовать поставленным требованиям.

Предложенный в данной работе алгоритм может быть использован для эффективного решения задачи упаковки квадратов в прямоугольную область заданных размеров. Данная задача имеет широкий спектр практических приложений в тех отраслях индустрии, где традиционно возникают задачи раскроя-упаковки. Рассмотренный алгоритм можно использовать в практических расчетах и включать его в автоматизированные системы проектирования и управления. Можно также сказать, что проблема является актуальной на данный момент, так как есть потребность в упаковке квадратов в прямоугольник и эта потребность никогда не закончится, а значит и проблема будет актуальной всегда.

Задачи раскроя-упаковки занимают важное место в современной комбинаторной оптимизации и привлекают внимание многих ученых, как в России, так и за рубежом.

Интерес к задачам раскроя-упаковки объясняется, в частности, их большой практической значимостью. Как правило, приложения задач раскроя-упаковки относятся к материалоемким производствам, где одним из основных факторов снижения себестоимости выпускаемой продукции является рациональное использование ресурсов.

5. Существующие системы раскроя.

Существуют много программных продуктов для раскроя листового материала, такие как ORION, АСТРА РАСКРОЙ, ТЕХТРАН . Рассмотрим один из них на примере ТЕХТРАНА.

Для предприятий, использующих машины термической резки, внедрение современных информационных технологий - задача из числа самых актуальных. Понятно, что сокращение сроков подготовки программ раскроя, оптимальное размещение деталей на листе, меньший расход материала решающим образом повлияют на себестоимость и качество продукции.

Новый программный продукт Техтран/Раскрой дополняет линейку программ семейства Техтран и предназначен для проектирования программ раскроя листового материала. Возможности CAM-системы объединены здесь с функциями организации производственного процесса. Подход к решению, использованный в программе, суммирует опыт работы ряда предприятий, эксплуатирующих машины термической резки. Задача в том, чтобы по заданию на раскрой, которое состоит из номенклатуры отобранных деталей и их количества по каждому наименованию, оперативно, учитывая складские запасы, оптимальным образом разложить детали на листах и получить управляющие программы резки этих деталей. Листы делового отхода, остающиеся после работы, должны быть учтены в базе данных системы для дальнейшего использования.

6. Формализация задачи и разработка математической модели

Приведем математическую модель задачи, следуя работе .

Алгоритм ветвей - и - границ основан на модели целочисленного линейного программирования (ЦЛП). Ради простоты в этой формулировке мы полагаем, что каждый элемент отличен, то есть для каждого типа j прямоугольников , мы определяем идентичных элементов, имеющих ширину , высоту и выгоду . Пусть (1) будет общим количеством элементов. Для каждого элемента k вводим бинарную переменную принимающую значение 1 тогда и только тогда, когда элемент k включен в оптимальное решение. Модель ЦЛП для общей двумерной задачи рюкзака выглядит следующим образом:

где: - размеры вписанного квадрата,

Размеры самого прямоугольника,

U - любая верхняя граница величины оптимального решения и C обозначает множество всех подмножеств элементов, которые не могут быть упакованы в лист гильотинным способом. Для величины порога U мы используем , то есть, величину оптимального решения для двумерной задачи рюкзака, соответствующей упрощению, согласно которому ограничения гильотинности опущены. Отметим, что ограничения (3) и (4) избыточны, но добавлены к формулировке, чтобы усилить его. Наш алгоритм решает упрощенную задачу, в которой ограничения (5) устранены и проверено будет ли текущее решение допустимо или нет с помощью решения следующей задачи разделения: будут ли все элементы из вписываться в лист при гильотинном подходе? В случае, если ответ положителен, то оптимальное решение общей двумерной задачи рюкзака найдено. Иначе, находится новое нарушенное ограничение, и процесс повторяется.

Этот подход подобен методу, предложенному Капрара и Монаси для точного решения двумерной задачи рюкзака и согласно Пизингеру и Сигарду для того, чтобы решить саму общую двумерную задачу рюкзака. Более точно, модель (2)-(6) решена специализированным методом ветвей и границ, в котором элементы упорядочены. Верхние границы получаются из ЛП релаксации задачи (2)-(3) с использованием верхней границы Мартелло и Тота . Обратный проход происходит всякий раз, когда верхняя граница не превышает текущее решение, или когда некоторые ограничения (3)-(5) нарушены.

В задаче 2-6 не учтено, что раскрой гильотинный. С учетом всех условий рассматриваем рекурсивный метод решения.

7. Метод решения

В этом пункте мы рассмотрим рекурсивную процедуру для перечисления гильотинных двумерных упаковок. В процедуре, называемой рекурсивной, мы обозначим каждое допустимое расположение подмножества элементов на листе как допустимую упаковку. Каждая допустимая упаковка может быть представлена как неотрицательный целочисленный вектор , где каждая координата представляет число элементов типа в упаковке. Обозначим как прибыль упаковки . Мы говорим, что допустимая упаковка максимальна, если никакие дальнейшие элементы не могут быть упакованы в лист, то есть, упаковка оказывается, неосуществимой для всех типов элементов, таким образом, что . Для двух допустимых упаковок и мы определяем новую упаковку следующим образом: , .

Рекурсивная процедура неявно перечисляет все допустимые упаковки, рекурсивно деля лист на две части посредством (горизонтального либо вертикального) гильотинного реза. Процедура получает во входе параметр , который является нижней границей прибыли любой допустимой (гильотинной) упаковки.

Как замечено Кристодесом и Уитлогом , для любой задачи двумерной упаковки существует оптимальное решение, соответствующее нормальному образцу, то есть, решение, в котором для любого упакованного элемента его левая сторона прилегает либо к правой стороне другого элемента или правой стороне листа. Это означает, что мы можем рассмотреть только вертикальные разрезы, по координатам , которые могут быть получены как комбинация ширин элементов, то есть, которые принадлежат множеству:

Похожим способом мы рассматриваем только горизонтальные разрезы, по координатам , принадлежащих следующему множеству:

Мы предполагаем, что элементы обоих множеств и отсортированы по возрастанию значений и полагаем и .

Даны и и пороговая величина решения , пусть будет множеством всех выполнимых (допустимых) упаковок данных элементов в лист размера , который может произвести (вместе с остаточными элементами и листом) прибыль, больше, или равное . Для двух данных выполнимых упаковок и мы формально обозначаем через попарную сумму упаковок в множества и :

Интуитивно, является множеством упаковок, которые могут быть получены, комбинацией любой упаковки с любой упаковкой , независимо от размеров множеств и . Ясно, что как только множество определено мы можем найти множества с условием, что все (соответственно ), элементы принадлежат упорядоченному множеству (соответственно ). Похожим способом знание множества позволяет нам определять множества . Действительно, достаточно отметить, что каждая упаковка , которая может произвести прибыль, по крайней мере равную , в прямоугольнике , может быть получена как сумма двух допустимых упаковок определенных для прямоугольника меньших размеров. Формально: , где либо и для некоторого , либо и для некоторого . Таким образом, зная и для каждого и , мы можем легко получить (сгенерировать) рекурсивным способом .

Основной алгоритм может быть улучшен следующим образом. Для каждой упаковки на листе ширины и высоты , верхняя граница, скажем , максимальной прибыли, может быть получена, когда остаточная площадь вычислена. С этой целью рассмотрим примеры рюкзаков с вместимостью , типов элементов, возможных в копий, каждый с прибылью и весом . Оптимальное решение из этого случая или любая верхняя граница этой величины дает верхнюю границу для максимальной прибыли, которая может быть получена, упаковывая остающиеся элементы в остаточную часть листа. Ясно, что все элементы , такие, что могут быть удалены из множества , так как они не могут привести к выполнимому решению, имеющему прибыль больше, чем . В нашей реализации мы вычисляем величину верхней границы на оптимальном решении (одномерного) случая задачи рюкзака (см. ). Величины верхних границ и полученные Хайфи и эти же величины, предложенные Янг-Гуном и Кангом для двумерной (ортогональной) задачи рюкзака без ограничений, мы используем минимум этих величин как верхнюю границу.

Кроме того, отметим, что ширина и высота листа могут быть уменьшены до и , соответственно, что приводит к меньшей мощности рюкзака, при решении релаксации задачи рюкзака, следовательно, к более точным верхним границам. Наконец, отметим, что только максимальная допустимая упаковка должна быть сохранена для каждого набора , и что любой не максимальный элемент может быть игнорирован. Это сокращает количество элементы в , следовательно, требования к памяти и времени вычисления алгоритма.

8. Входные и выходные данные системы

Входные данные:

1. Ширина прямоугольника-листа;

2. Высота прямоугольника-листа;

3. Размеры квадратов;

Выходные данные:

5. Прямоугольники, расположенные на экране монитора;

6. Текстовый файл с информацией о вписанных прямоугольниках;

7. Дополнительная информация о вписывании прямоугольников в виде различных сообщений на экране.

8.5. Разработка интерфейса пользователя

Интерфейс пользователя целесообразно делать в графическом виде, так как это максимально удобно для использования.

Форма ввода и вывода данных

Рисунок 1. Интерфейс пользователя

Вводим сначала ширину прямоугольника, нажимаем enter, высоту - enter, и вводим размеры квадратов, например 23 - enter, 45 - enter и т. д., нажимаем 0, для прекращения ввода квадратов и в том месте, где сохранен проект, появляется файл result.png, где можно увидеть упаковку квадратов.

В этом же окне выводится информация о количестве квадратов определенных размеров. Нажимаем 0 и видим информацию о времени заполнения прямоугольной область квадратами.

После всех проделанных действий получаем:

Рисунок 2. Полученный результат программы

и саму упаковку:

Рисунок 3. Упаковка квадратов в прямоугольник

Таблица 1.

Численные результаты программы

	Размер прямоугольника	Предполагаемое кол-во квадратов	Общее кол-во квадратов

Вывод: чем больше введенных квадратов, тем больше время выполнения алгоритма.

9. Заключение

В соответствии с целью исследования были поставлены и выполнены следующие задачи:

1. Формулировка рассматриваемых задач раскроя-упаковки в терминах математического программирования и качественная оценка методов их решения;

2. Разработан и исследован алгоритм решения задачи упаковки квадратов различных размеров в прямоугольник;

3. Проведен анализ эффективности разработанного метода на основе результатов численных экспериментов.

Список литературы:

1.Техтран/Раскрой листового материала [Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: http://9132222.ru/catalog/soft/techtran/textran.html (дата обращения 12.06.2014).

2.Caprara A, Monaci M. On the two-dimensional knapsack problem. Operations Research Letters 2004;32:5–14.

3.Christofides N, Whitlock C. An algorithm for two-dimensional cutting problems. Operations Research 1977;25:30–44.

4.Hifi M. An improvement of Viswanathan and Bagchi’s exact algorithm for constrained two-dimensional cutting stock. Computers and Operations Research 1997;24:727–36.

5.Martello S, Toth P. Knapsack problems: algorithms and computer implementations. Chichester: John Wiley & Sons; 1990.

6.Pisinger D, Sigurd M. Using decomposition techniques and constraint programming for solving the two-dimensional bin-packing problem. INFORMS Journal on Computing 2007;19:36–51

7.Young-Gun G, Kang MK. A new upper bound for unconstrained two-dimen-sional cutting and packing. Journal of the Operational Research Society 2002;53:587–91.

Программы для оптимизации раскроя материалов

Данный каталог включает ссылки на несколько отчественных компьютерных программ для оптимизации раскроя материалов и на несколько публикаций по этой теме .

Метод оптимизации раскроя материалов основывается на работе "Расчет рационального раскроя промышленных материалов", 1951 г., написанной советскими учеными Л. В. Канторовичем и В. А. Залгаллером, в которой систематически изложены алгоритмы линейного программирования, а также, описано динамическое программирование для задачи о раскрое и комбинирование его с алгоритмами линейного программирования.

Программ оптимизации раскроя разработано в мире большое количество, как общего характера, так и сугубо специальных. Ниже даны ссылки на программы, доступные для загрузки с сайтов разработчиков. Там же имеются и их описания.

Раскрой
программа предназначена для автоматического составления оптимальных карт раскроя листовых и рулонных материалов,

например, ДСП, МЛФ (при изготовлении мебели), стекла или любых других листовых или рулонных материалов. Позволяет эффективно и быстро получать карты раскроя, имеющие большой процент выхода. Платная, имеется демоверсия
сайт разработчика http://picaro.ru
Aстра Раскрой
программа предназначена для оптимизации раскроя листовых материалов ( древесностружечных плит, металла, стекла и пластиков ) . Астра Раскрой обеспечивает быстрый ввод информации о заказах и материалах; автоматическое и ручное формирование карт раскроя; полный учет мерных остатков и их раскрой в последующих заказах; печать карт раскроя и спецификаций. Платная
сайт разработчика http://www.astrapro.ru Базис-Раскрой
программа автоматизированного создания карт раскроя листового материала, сочетающая в себе оптимальность расположения контуров деталей прямоугольной формы в заданных габаритах исходного материала с высокой скоростью расчета. Она является составной частью комплекса Базис - Конструктор - Мебельщик. Платная, имеется демоверсия
сайт разработчика http://www.bazissoft.ru Cutting
программы семейства CUTTING предназначены для оптимального раскроя материала на прямоугольные или линейные детали. Программы могут быть использованы в деревообрабатывающем производстве, производстве мебели, рубки металла, резки стекла и т.д. В основу программ положен уникальный, высокоскоростной алгоритм, позволяющий быстро произвести раскрой с минимальными отходами. Платная, имеется демоверсия
сайт разработчика http://www.cuttinghome.com
Cutting Line
программа предназначена для оптимального раскроя линейных заготовок на линейные отрезки различной длины и может быть использована в деревообрабатывающей и целлюлозно-бумажной промышленности, металлообработке, швейном производстве и т.д. Платная, имеется демоверсия
сайт разработчика http://www.cuttinghome.com

PaneCut - программа оптимизации раскроя листовых и линейных материалов, позволяющая значительно уменьшить процент отхода используемых материалов. Платная, имеется демоверсия
сайт разработчика http://www.vsgroup.ua
NCL - п рограмма автоматического раскроя листового материала для деталей любой конфигурации. Разоаботчик Полевов А. В. Бесплатная
сайт программы http://freesoft.ru/ncl_v13
Optimum
программа оптимального раскроя материалов на прямоугольные детали. Условно-бесплатная
сайт разработчика http://wincad.ru

Базис-Мебельщик
комплекс взаимосвязанных программ, позволяющих эффективно организовать индивидуальное или серийное производство корпусной мебели на любых предприятиях: от мебельных гигантов до индивидуальных предпринимателей. Состав системы: Базис-Мебельщик (базовый), Базис-Раскрой , Базис-Смета, Базис-Интерьер.

Платная, имеется демоверсия
сайт разработчика http://www.bazissoft.ru
bCAD-Мебельщик
специализированный программный комплект, предназначенный для проектирования и подготовки производства корпусной мебели. Пакет включает в себя базовый модуль bCAD, дополненный специфическими инструментами. Приложение Раскрой, позволяет автоматически создавать карту раскроя деталей полученных моделей. При выборе материала приложение автоматически предлагает список деталей из выбранного материала, присутствующих в проекте. Задаются параметры используемых листов, направления первого пила, количество комплектов. Приложение позволяет учитывать остатки раскроя, сохранять их параметры и использовать в дальнейшем.
сайт разработчика http://bcad-ug.ru

В сети нетрудно найти и др. аналогичные программы в т.ч. бесплатные

Теория и практика автоматизированного раскроя материалов в производстве корпусной мебели. Бунаков П.Ю., Каскевич Н.В, Коломна: ГОСГИ, 2010. 170 с.

Оптимизация раскроя материалов в машиностроении: учебное пособие / С.И. Вдовин, О.Е. Джур. – Орел: ОГУ имени И. С. Тургенева, 2016. – 45 с.

В.А. Скатерной "Оптимизация раскроя материалов в легкой промышленности" изд. Швейная промышленность. Легпромбытиздат, 1989, - 144 с

Составил Абушенко Александр Викторович, окт. 2005, ссылки сверены янв. 2017 г.

Цель работы : Закрепление знаний в области экономико-математического моделирования, знакомство с методикой решения задачи рационального раскроя материалов, основанной на решении оптимизационной задачи линейного программирования.

Исходные положения . Изготовление многих видов современной промышленной продукции начинается с раскроя материалов, что является одной из важных производственных задач для заготовительного производства и органов материально-технического снабжения.

Задачи оптимального раскроя материалов - одни из первых задач, к решению которых применялись методы линейного программирования. Они заключаются в определении наилучшего способа раскроя поступающего материала, при котором будет изготовлено наибольшее число готовых изделий в заданном ассортименте или будет получено наименьшее количество отходов.

Первая работа, посвященная решению задач, названных впоследствии задачами линейного программирования, появилась в 1939 г. Это была книга Л.В.Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Толчком для ее появления послужила задача, поставленная перед Институтом математики и механики Ленинградского Государственного университета лабораторией фанерного треста. В других отраслях промышленности также успешно применялись экономико-математические методы оптимизации раскроя материалов. Так, еще в 1948 - 1949 гг. математические методы раскроя были успешно применены на вагоностроительном заводе им. Егорова в Ленинграде, что позволило снизить в несколько раз отходы при раскрое различных материалов.

Математическая модель задачи.

Поступающие на предприятие материалы подлежат раскрою на заготовки. От правильности раскроя зависит себестоимость продукции (используется, например на автозаводах и в др.).

В большинстве случаев раскрой материалов на заготовки производится в определенной пропорции, обеспечивающей получение комплекта заготовок (т.е. кратно комплекту).

Задача оптимизации раскроя материалов заключается в разработке таких вариантов раскроя, при которых получают определенное количество заготовок в данном ассортименте (разных видов) с минимальными отходами.

Для составления математической модели задачи оптимального раскроя введем следующие обозначения:

L - длина материала; S - площадь поверхности листового или рулонного материала; N - количество единиц исходного материала.

Необходимо получить m различных видов заготовок либо длиной L i , либо площадью S i , где i - вид заготовки (i=1, 2, ..., m ).

Известно число заготовок i -го вида в изделии, т.е. то число заготовок, которое необходимо для производства одного изделия - b i . Число комплектов изделий, выпускаемых предприятием обозначим через k .

Раскрой материала можно произвести n способами. Известно а ij - число заготовок i -го вида, получаемое j -м способом (j =1, 2, …, n ).

Количество отходов, получаемое при раскрое единицы исходного материала j -м способом - С j .

Требуется составить такой план раскроя, чтобы обеспечить получение полных комплектов заготовок с минимальными отходами.

Обозначим через x j количество единиц исходного материала, раскроенных j -м способом. Найти такие x j ³ 0 , которые удовлетворяют следующим ограничениям:

(ограничение по количеству исходного материала)

(ограничение по плану производства)

Столько получается заготовок i-го вида при всех вариантах раскроя. Исходя из условия комплектности получим следующие ограничения по плану производства:

Суммарная величина отходов должна быть минимальной, тогда функция цели примет вид:

Пример расчетов в задаче оптимального раскроя материалов.

Из металлических прутков длиной по 6 м каждый, имеющихся в количестве 100 шт. необходимо изготовить конструкцию, изображенную на рис.1.